大学第1阶段数学知识讲解 · Taylor 展开与余项至向量空间、基与维数

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知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 20 个知识点；配套 40 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

Taylor 展开与余项

Taylor 多项式用某点的多阶导数近似函数，余项刻画近似误差。局部展开可以确定极限的首个非零项；要给具体精度，就应提供余项界，而不是只写省略号。无限 Taylor 级数是否等于原函数还需要额外分析，有限阶公式本身不作保证。

关键关系与条件

若 $f$ 在 $a$ 与 $x$ 之间有连续的前 $n+1$ 阶导数，则

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}.$$

$\xi$ 位于两点之间。若该区间 $|f^{(n+1)}|\le M$，余项绝对值不超过 $M|x-a{|}^{n+1}/(n+1)!$。

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原函数与不定积分

原函数 $F$ 满足 $F^{\prime }=f$，不定积分表示同一区间内所有原函数组成的族。连续函数在区间上存在原函数，但不一定能用初等函数写出。积分常数不能省略；在不连通定义域的不同区间，常数可以独立选择。计算后求导是直接验算方法。

关键关系与条件

$\int x^{\alpha }\mathrm{d}x=x^{\alpha +1}/(\alpha +1)+C$（$\alpha \ne -1$，一般实指数取 $x>0$）；$\int \mathrm{d}x/x=\ln |x|+C$（在不穿过零的区间）；$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$；$\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C$；$\int \mathrm{d}x/(1+x^2)=\arctan x+C$；$\int \mathrm{d}x/\sqrt{1-x^2}=\arcsin x+C$（$|x|<1$）。

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换元与分部积分

换元积分反用链式法则，寻找复合结构及其内层导数；分部积分反用乘积法则，适合多项式与指数、三角或对数的乘积。定积分换元时同时改变上下限，不定积分换元后则需换回原变量。分部积分选取的微分部分应当易于积分。

关键关系与条件

$\int f(g(x))g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=F(g(x))+C$，其中 $F^{\prime }=f$。$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$。若 $g\in C^1[a,b]$ 且 $f$ 在其像上连续，则 ${\int }_a^{b}f(g(x))g^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(u)\mathrm{d}u$。

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定积分与微积分基本定理

定积分是细分后求和的极限，记录有符号的累计量；函数在横轴下方时贡献为负。连续函数的变上限积分可导，导数回到被积函数。Newton–Leibniz 公式连接原函数与累计量；积分上下限本身是函数时，还需链式法则。

关键关系与条件

若 $f\in C[a,b]$，则 $G(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 满足 $G^{\prime }(x)=f(x)$；若 $F^{\prime }=f$，则 ${\int }_a^{b}f=F(b)-F(a)$。若可导 $u,v$ 的值落在 $f$ 的连续区间内，则有 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)\mathrm{d}t=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x)$。

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积分的几何与物理应用

积分应用先选微元：面积用高度乘宽度，体积用截面积乘厚度，路程用速率乘时间。旋转体圆盘法须明确轴、半径和区间；有孔时外圆面积减内圆面积。位移使用带符号速度，路程使用速度绝对值。

关键关系与条件

若 $f\ge g$，则区域面积 $A={\int }_a^b(f-g)\mathrm{d}x$。绕横轴旋转且 $R\ge r\ge 0$ 时 $V=\pi {\int }_a^b(R^2-r^2)\mathrm{d}x$。光滑图像弧长 $L={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x$。路程 $s={\int }_{t_0}^{t_1}|v(t)|\mathrm{d}t$。

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反常积分与收敛判别

无穷区间或被积函数无界时，用极限定义反常积分；只有相关极限有限才称收敛。若在内部有奇点，必须在奇点两侧分别收敛，不能利用正负抵消。比较判别对非负函数尤其有效；Cauchy 主值与通常反常积分不是同一概念。

关键关系与条件

${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{R}f$。${\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^{-p}\mathrm{d}x$ 当且仅当 $p>1$ 收敛；${\int }_0^1{x}^{-p}\mathrm{d}x$ 当且仅当 $p<1$ 收敛。比较尾部时，先要求 $f,g$ 在每个有限截断区间可积；若对充分大的 $x$ 有 $0\le f(x)\le g(x)$ 且 ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}g$ 收敛，则 ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f$ 收敛。有限端点或内部的奇点须另外逐一检查。

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矩阵运算与线性表示

矩阵把多变量的线性关系组织为数组。加法要求同形，乘积要求前者列数等于后者行数；乘积顺序通常不可交换。矩阵作用于列向量时，每一列就是相应标准基向量的像。单位矩阵起到乘法中数字 $1$ 的作用。

关键关系与条件

对 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$、$B\in {\mathbb{R}}^{n\times p}$，$(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$，结果为 $m\times p$。$(AB{)}^T=B^T{A}^T$。线性映射满足 $A(\alpha x+\beta y)=\alpha Ax+\beta Ay$。

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行列式与可逆性判据

行列式只对方阵定义，衡量线性变换对有向体积的缩放；为零表示某些方向被压扁。交换两行变号，某行乘常数则行列式乘同一常数，某行加另一行的倍数则不变。消元计算时须记录这些变化。

关键关系与条件

$det\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$；$det(AB)=detAdetB$；三角矩阵行列式为对角元素之积。$n$ 阶矩阵可逆当且仅当 $detA\ne 0$。$det(cA)=c^{n}detA$。

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逆矩阵与线性方程组

逆矩阵把可逆的线性变换撤销。方阵系统 $Ax=b$ 若 $A$ 可逆，则对每个 $b$ 有唯一解；不可逆时可能无解或有无穷多解，需要秩判别。实际数值求解通常采用消元或分解，不必显式求逆。矩阵方程变形须保持乘法次序。

关键关系与条件

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$；$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$（二者均可逆）。若 $ad-bc\ne 0$，则 ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$。可逆系统解为 $x=A^{-1}b$。

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消元、秩与解的结构

初等行变换保持线性方程组的解集。行阶梯形中的主元数就是矩阵秩；增广矩阵中的矛盾行说明无解。相容系统中，自由变量数等于未知数数目减秩。非齐次通解可写成一个特解加齐次解空间中的任意向量。

关键关系与条件

$Ax=b$ 有解当且仅当 $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}[A\mid b]$。若有 $n$ 个未知数且公共秩为 $r$，则 $r=n$ 时唯一解，$r<n$ 时有 $n-r$ 个自由变量。齐次系统零空间维数为 $n-r$。

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向量空间、基与维数

向量空间对加法和数乘封闭；子空间必须包含零向量。线性组合构成的集合叫张成空间；只有零系数能组合出零向量时，向量组线性无关。基同时满足张成与线性无关，基向量数为维数。坐标依赖所选基，向量本身不依赖。

关键关系与条件

$\mathrm{span}(v_1,\dots ,v_k)=\{\sum _i{c}_i{v}_i\}$。线性无关定义为 $\sum _i{c}_i{v}_i=0\Rightarrow c_1=\cdots =c_k=0$。若 $B=(v_1,\dots ,v_n)$ 为基，则每个 $v$ 唯一表示为 $v=\sum _i{c}_i{v}_i$，坐标为 $[v{]}_B=(c_1,\dots ,c_n{)}^T$。

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