八年级数学独立习题集 · 平方根、立方根与实数至一次函数与实际方案比较

本页有 36 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

八年级数学独立习题集

本页有 36 道题，每个知识点各两题。建议先独立作答、写出理由，再展开答案核对。

知识点	配套题号
j8-01 平方根、立方根与实数	题 1、题 2
j8-02 二次根式化简与运算	题 3、题 4
j8-03 整数指数幂	题 5、题 6
j8-04 整式乘除与多项式展开	题 7、题 8
j8-05 平方差与完全平方公式	题 9、题 10
j8-06 因式分解	题 11、题 12
j8-07 分式的意义、约分与通分	题 13、题 14
j8-08 分式方程与增根检验	题 15、题 16
j8-09 二元一次方程组	题 17、题 18
j8-10 一元一次不等式	题 19、题 20
j8-11 不等式组与区间交集	题 21、题 22
j8-12 一次函数的图象与性质	题 23、题 24
j8-13 一次函数与实际方案比较	题 25、题 26
j8-14 三角形全等与对应关系	题 27、题 28
j8-15 等腰三角形与垂直平分线	题 29、题 30
j8-16 勾股定理与逆定理	题 31、题 32
j8-17 平行四边形、矩形、菱形与正方形	题 33、题 34
j8-18 加权平均数与方差	题 35、题 36

平方根、立方根与实数

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题 1

求 $49$ 的平方根与算术平方根。

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答案： 平方根为 $\pm 7$ ；算术平方根为 $7$ 。

思路与计算： $7^{2} = (- 7)^{2} = 49$ ，两者都是平方根；其中非负的 $7$ 才是 $\sqrt{49}$ 。

易错提醒： 根号本身只表示非负算术平方根，不要在其结果前再添正负号。

题 2

求 $\sqrt{(- 5)^{2}} + \sqrt[3]{- 27}$ 。

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答案： $2$ 。

思路与计算： $\sqrt{25} = 5$ ， $\sqrt[3]{- 27} = - 3$ ，相加为 $2$ 。

易错提醒： 平方后开平方得到绝对值，立方后开立方则保留原符号。

二次根式化简与运算

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题 3

化简 $\sqrt{12} + \sqrt{27}$ 。

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答案： $5 \sqrt{3}$ 。

思路与计算： $\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ ， $\sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$ ，相加得 $5 \sqrt{3}$ 。

易错提醒： 不能直接合成 $\sqrt{39}$ 。

题 4

化简 $\frac{3}{\sqrt{5}}$ 。

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答案： $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ 。

思路与计算： 分子分母同时乘非零的 $\sqrt{5}$ ，分母成为 $5$ ，式子的值不变。

易错提醒： 有理化必须同时乘分子分母。

整数指数幂

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题 5

化简 $x^{5} x^{2} \div x^{3}$ ，其中 $x \neq 0$ 。

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答案： $x^{4}$ 。

思路与计算： 同底数指数先加后减， $5 + 2 - 3 = 4$ 。

易错提醒： 幂的乘法是指数相加，不能写成 $x^{10}$ 。

题 6

计算 $2^{- 3} + (- 3)^{0}$ 。

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答案： $\frac{9}{8}$ 。

思路与计算： $2^{- 3} = 1 / 8$ ，非零底数 $- 3$ 的零次幂为 $1$ ，和为 $9 / 8$ 。

易错提醒： 负指数表示倒数，不表示负值。

整式乘除与多项式展开

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题 7

展开 $(x + 2) (x - 3)$ 。

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答案： $x^{2} - x - 6$ 。

思路与计算： 逐项相乘得 $x^{2} - 3 x + 2 x - 6$ ，合并一次项为 $- x$ 。

易错提醒： 中间两项不能漏掉。

题 8

化简 $\frac{6 x^{3} - 9 x^{2}}{3 x}$ ，其中 $x \neq 0$ 。

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答案： $2 x^{2} - 3 x$ 。

思路与计算： 每一项除以 $3 x$ ： $6 x^{3} / (3 x) = 2 x^{2}$ ， $- 9 x^{2} / (3 x) = - 3 x$ 。

易错提醒： 化简后的式子仍继承原式 $x \neq 0$ 的条件。

平方差与完全平方公式

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题 9

展开 $(2 x - 3)^{2}$ 。

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答案： $4 x^{2} - 12 x + 9$ 。

思路与计算： 两端平方为 $4 x^{2}, 9$ ，中间项为 $- 2 \cdot 2 x \cdot 3 = - 12 x$ 。

易错提醒： 最后一项是正数，且不可漏中间项。

题 10

用公式计算 $101 \times 99$ 。

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答案： $9999$ 。

思路与计算： $(100 + 1) (100 - 1) = 100^{2} - 1^{2} = 9999$ 。

易错提醒： 两个因式需具有同一个中心数与互为相反数的偏移。

因式分解

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题 11

在有理数系数范围内分解 $3 x^{2} - 12$ 。

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答案： $3 (x - 2) (x + 2)$ 。

思路与计算： 先提 $3$ 得 $3 (x^{2} - 4)$ ，再用平方差公式。

易错提醒： 只写 $3 (x^{2} - 4)$ 尚未分解到底。

题 12

分解 $x^{2} - 5 x + 6$ 。

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答案： $(x - 2) (x - 3)$ 。

思路与计算： 寻找和为 $- 5$ 、积为 $6$ 的两数，得到 $- 2, - 3$ ；展开可验回原式。

易错提醒： 两数的和决定一次项，积决定常数项，二者都要符合。

分式的意义、约分与通分

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题 13

化简 $\frac{x^{2} - 9}{x - 3}$ 并写出限制。

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答案： $x + 3$ ，且 $x \neq 3$ 。

思路与计算： 分子分解为 $(x - 3) (x + 3)$ ，约去非零因子 $x - 3$ 。

易错提醒： 约分不会把原来不允许的 $x = 3$ 变成允许值。

题 14

计算 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}$ 。

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答案： $\frac{2 x + 1}{x (x + 1)}$ ， $x \neq 0, - 1$ 。

思路与计算： 通分后分子为 $(x + 1) + x = 2 x + 1$ 。

易错提醒： 分母不同不能直接相加分子而保持某一个分母。

分式方程与增根检验

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题 15

解 $\frac{2}{x - 1} = 1$ 。

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答案： $x = 3$ 。

思路与计算： 先要求 $x \neq 1$ ；乘 $x - 1$ 得 $2 = x - 1$ ，候选根 $3$ 满足限制，代入原式成立。

易错提醒： 最后要检查分母不为零。

题 16

解 $\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$ 。

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答案： 无解。

思路与计算： 原式要求 $x \neq 1$ ；去分母得 $x = 1$ ，恰是禁值，因此舍去。

易错提醒： 整式方程有根不保证原分式方程有解。

二元一次方程组

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题 17

解方程组 $x + y = 7$ ， $x - y = 1$ 。

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答案： $x = 4, y = 3$ 。

思路与计算： 两式相加得 $2 x = 8$ ，因此 $x = 4$ ；代入第一式得 $y = 3$ 。

易错提醒： 答案是一对同时满足两式的数。

题 18

成人票 $10$ 元、学生票 $6$ 元，共卖 $8$ 张收入 $64$ 元，各多少张？

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答案： 成人票 $4$ 张，学生票 $4$ 张。

思路与计算： 设两类票为 $x, y$ 张， $x + y = 8, 10 x + 6 y = 64$ ；第二式减第一式的 $6$ 倍得 $4 x = 16$ 。

易错提醒： 方程解还须是非负整数，本题满足。

一元一次不等式

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题 19

解 $- 2 x + 3 < 7$ 。

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答案： $x > - 2$ 。

思路与计算： 减去 $3$ 得 $- 2 x < 4$ ，除以 $- 2$ 时不等号反向。

易错提醒： 乘除负数必须反向。

题 20

解 $3 (x - 1) \geq 6$ ，并写最小整数解。

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答案： $x \geq 3$ ；最小整数解为 $3$ 。

思路与计算： 除以正数 $3$ 得 $x - 1 \geq 2$ ，再加 $1$ 。

易错提醒： 等号成立时端点要包含。

不等式组与区间交集

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题 21

解不等式组 $x > 1$ ， $2 x \leq 8$ 。

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答案： $1 < x \leq 4$ 。

思路与计算： 第二式给出 $x \leq 4$ ，与 $x > 1$ 取公共部分。

易错提醒： 下端点不含 1，上端点包含 4。

题 22

求 $- 2 \leq x < 3$ 的全部整数解及个数。

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答案： $- 2, - 1, 0, 1, 2$ ，共 $5$ 个。

思路与计算： 左端点可取，右端点不可取，按顺序列出即可。

易错提醒： 零也是整数，且不能把 3 算入。

一次函数的图象与性质

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题 23

直线经过 $(0, 2)$ 与 $(3, 8)$ ，求解析式。

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答案： $y = 2 x + 2$ 。

思路与计算： 第一点给出 $b = 2$ ；第二点给出 $8 = 3 k + 2$ ，故 $k = 2$ 。

易错提醒： 纵轴截距就是横坐标为零时的函数值。

题 24

函数 $y = - 3 x + 6$ 随 $x$ 增大如何变化，与 $x$ 轴交于何处？

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答案： 递减，交点为 $(2, 0)$ 。

思路与计算： 斜率 $- 3 < 0$ ；令 $y = 0$ ，解 $- 3 x + 6 = 0$ 得 $x = 2$ 。

易错提醒： 与 $x$ 轴交点要令纵坐标为零。

一次函数与实际方案比较

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题 25

方案甲收费 $20 + 2 x$ 元，乙收费 $5 x$ 元， $x \geq 0$ 。何时甲更便宜？

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答案： $x > \frac{20}{3}$ ；若 $x$ 是整数，则 $x \geq 7$ 。

思路与计算： 解 $20 + 2 x < 5 x$ ，得到 $3 x > 20$ 。

易错提醒： 临界点两者相等，不属于“更便宜”。

题 26

水箱初有 $100$ 升水，每分钟流出 $8$ 升，写剩余水量与时间的关系及有效范围。

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答案： $V = 100 - 8 t$ ， $0 \leq t \leq 12.5$ 。

思路与计算： 每分钟减少固定量，故斜率为 $- 8$ ；令 $V = 0$ 得排空时间 $12.5$ 分钟。

易错提醒： 排空后不能仍按该式产生负水量。

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