高二数学公式速查

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每个专题与知识讲解、习题使用相同编号。先检查条件，再代入公式；数值计算与几何作图统一单位。

等差数列

$a_n=a_1+(n-1)d$；$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。若 $p+q=r+s$，则 $a_p+a_q=a_r+a_s$。

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等比数列与前项和

$a_n=a_1{q}^{n-1}$，通常定义要求 $a_{1}q\ne 0$。$q\ne 1$ 时 $S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$；$q=1$ 时 $S_n=n{a}_1$。若 $|q|<1$，无限和为 $a_1/(1-q)$（进阶）。

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递推数列与构造新数列

$a_{n+1}=q{a}_n+b$，$q\ne 1$ 时取 $L=b/(1-q)$，有 $a_{n+1}-L=q(a_n-L)$，故 $n\ge 2$ 时 $a_n=L+(a_1-L)q^{n-1}$，首项直接使用给定的 $a_1$。若 $q=0$，后续各项均为 $b$，不在首项处使用 $0^0$；若 $a_1=L$，差数列为零数列，不能按本版非零项定义称为等比数列。$q=1$ 时 $a_n=a_1+(n-1)b$。 本节通项只涉及正整数项号。

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数列求和、裂项与错位相减

$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，$k\ne 0,-1$；$\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)/2$。$\sum _{k=1}^{n}k{q}^{k-1}=\frac{1-(n+1)q^n+n{q}^{n+1}}{(1-q{)}^2}$，$q\ne 1$。

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空间直线与平面的位置关系

若 $l\not\subset \alpha ,m\subset \alpha ,l\parallel m$，则 $l\parallel \alpha$。若 $m,n\subset \alpha$ 且 $m\cap n$ 为一点，$l\perp m,l\perp n$，则 $l\perp \alpha$（按方向夹角理解垂直）。线面平行不包括直线在平面内。 若 $l\subset \beta ,l\perp \alpha$，则 $\alpha \perp \beta$。二面角的平面角范围为 $[0,\pi ]$（非退化时在 $(0,\pi )$），应区分所选半平面；不能总用法向量夹角的绝对值代替指定二面角。

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棱柱、棱锥与棱台的度量

棱柱 $V=Sh$；棱锥 $V=Sh/3$；棱台 $V=\frac{h}{3}(S_1+\sqrt{S_1{S}_2}+S_2)$，$h$ 为两底面间垂直距离，$S_1,S_2>0$。表面积按各面面积相加。

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圆柱、圆锥与球

直圆柱 $V=\pi r^{2}h,S_{\text{侧}}=2\pi rh$；直圆锥 $V=\pi r^{2}h/3,S_{\text{侧}}=\pi r\sqrt{r^2+h^2}$。球 $S=4\pi r^2,V=4\pi r^3/3$，$r>0,h>0$。全面积需计入相应底面。

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空间向量、法向量与夹角

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$；$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$。线面角 $\theta \in [0,\pi /2]$ 满足 $\sin \theta =\frac{|\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{v}||\mathbf{n}|}$，方向向量 $\mathbf{v}$ 与法向量 $\mathbf{n}$ 均非零。

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直线方程与点线距离

直线 $Ax+By+C=0$，要求 $A^2+B^2>0$，法向量 $(A,B)$。点 $(x_0,y_0)$ 到直线距离 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。非竖直直线点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$。

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圆的标准方程与直线位置

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，$r>0$。$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆心 $(-D/2,-E/2)$，$r^2=(D^2+E^2)/4-F$，须 $r^2>0$。

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椭圆定义与标准方程

横轴为长轴：$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，$a>b>0$，$c^2=a^2-b^2$，焦点 $(\pm c,0)$，离心率 $e=c/a\in (0,1)$。纵轴为长轴时交换 $x,y$ 的位置。

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双曲线与渐近线

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$，$a,b>0$，$c^2=a^2+b^2$，焦点 $(\pm c,0)$，$e=c/a>1$，渐近线 $y=\pm (b/a)x$。实轴为 $y$ 轴时交换坐标角色。

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抛物线焦点与准线

$y^2=2px$，$p>0$：焦点 $(p/2,0)$，准线 $x=-p/2$，向右开口。$y^2=-2px$ 向左；$x^2=2py$ 向上；$x^2=-2py$ 向下。不可与 $y^2=4ax$ 的参数 $a$ 混用。

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导数定义与切线

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$，若极限存在。切线 $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。可导推出连续，反向一般不成立。

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导数公式与运算法则

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$（在该幂函数可导处）；$(e^x{)}^{\prime }=e^x$，$(\ln x{)}^{\prime }=1/x(x>0)$；$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$，$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$。$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$，$(u/v{)}^{\prime }=(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })/v^2(v\ne 0)$，$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$。

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导数、单调区间与极值

在区间内 $f^{\prime }>0$ 可推出严格递增，$f^{\prime }<0$ 可推出严格递减。若 $f$ 在内部点 $x_0$ 连续，并在其左右邻域可导，则导数由正变负时 $x_0$ 为极大值点，由负变正时为极小值点。闭区间连续函数的最值候选为内部导数为零或不存在的点及端点。

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分类计数、分步计数与排列

分类计数 $N=m_1+\cdots +m_k$，各类须互斥且覆盖；分步计数 $N=m_1\cdots m_k$，每一步的选项数应正确考虑前面限制。$A_n^r=n!/(n-r)!$，$n,r$ 为整数且 $0\le r\le n$。

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组合、分组与避免重复

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!}$，$n,r$ 为整数且 $0\le r\le n$；$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-r})$；$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{r+1})$，此式要求 $0\le r<n$。$0!=1$。

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二项式定理与系数

$(a+b{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})a^{n-r}{b}^r$，$n$ 为非负整数。第 $r+1$ 项为 $T_{r+1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})a^{n-r}{b}^r$。$\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=2^n$。

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条件概率与独立性

$P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$，$P(B)>0$。$A,B$ 独立当且仅当 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。

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离散随机变量、期望与二项分布

有限分布列有 $E(X)=\sum x_i{p}_i$，$D(X)=\sum (x_i-E(X){)}^2{p}_i$（无限分布需另检查相应矩存在）。若 $X\sim B(n,p)$，则 $P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$，$E(X)=np,D(X)=np(1-p)$，$n$ 为非负整数，$k=0,\dots ,n$，$0\le p\le 1$。端点 $p=0,1$ 按退化分布理解。 若 $N$ 件中有 $M$ 件目标物，等可能无放回取 $n$ 件，$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k})/(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})$，$N,M,n,k$ 为整数，$0\le M,n\le N$，$max(0,n-N+M)\le k\le min(n,M)$；$N>0$ 时 $E(X)=nM/N$。

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统计相关、回归与预测范围

$\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x$，$\hat{b}=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}$，要求分母大于零；$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$。残差 $e_i=y_i-{\hat{y}}_i$。

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