大学第4阶段数学习题集 · 优化建模、敏感性与结果解释至偏微分方程建模与边界条件

返回分篇目录

知识讲解 · 公式速查 · 逐点习题

本版采用大学四阶段建议路线，专业、学校和选课顺序可能不同，不对应统一教材或固定学期。覆盖口径：本页列出的 22 个知识点；配套 44 道习题，每点两题。 它不声称穷尽大学数学，专业拓展只提供明确的入门范围。

优化建模、敏感性与结果解释

知识回顾 · 公式速查

题 41

生产两类产品 $x,y\ge 0$，单位利润 4、3，资源约束 $2x+y\le 6$、$x+2y\le 6$。求最优计划。

查看答案与讲解

可行顶点为 $(0,0),(3,0),(2,2),(0,3)$，利润分别 $0,12,14,9$，故 $x=y=2$，最优利润 $14$。两类资源都恰好用完。易错：利润较高的单一产品不一定能最有效利用全部资源。

题 42

上题资源都改成 $6+\delta$，其中 $\delta >-6$ 且连续生产假设不变，求新最优值与对 $\delta$ 的变化率。

查看答案与讲解

整个可行域按比例 $(6+\delta )/6$ 缩放，原最优点也同比缩放为 $x=y=(6+\delta )/3$。利润为 $7(6+\delta )/3=14+7\delta /3$，变化率为 $7/3$。易错：这表示两项资源同时增加的边际变化，不是单项资源的影子价格。

偏微分方程建模与边界条件

知识回顾 · 公式速查

题 43

验证 $u(x,t)=e^{-\kappa {\pi }^{2}t}\sin (\pi x)$ 满足 $0<x<1$ 上热方程及零端点边界，并写出初值。

查看答案与讲解

$u_t=-\kappa {\pi }^{2}u$，$u_{xx}=-{\pi }^{2}u$，因此 $u_t=\kappa u_{xx}$。两端正弦均为零；$t=0$ 时初值为 $\sin \pi x$。易错：检验候选解不能只检查微分方程而漏掉边界和初值。

题 44

在 $0<x<1$ 的同一热方程和零边界下，初值为 $2\sin (\pi x)+\sin (2\pi x)$，写出解并比较两模态衰减速度。

查看答案与讲解

由线性叠加，$u=2e^{-\kappa {\pi }^{2}t}\sin \pi x+e^{-4\kappa {\pi }^{2}t}\sin 2\pi x$。第二模态指数衰减率是第一模态的四倍，高频结构消退更快。易错：频率翻倍使热方程衰减率变为四倍。