小学六年级数学：公式与规则速查

知识讲解 · 公式速查 · 独立习题集

按六三三学段编排的通用建议学习顺序；不同地区、教材和学期安排存在差异。本版覆盖以下明确列出的知识点，不将其等同于所有教材或完整课程标准。

公式页保留所有知识点的编号。低年级有些知识以规则而非代数公式表达；字母与较复杂符号可由教师辅助理解。计算前先确认已知量、未知量、单位和适用条件。

分数乘法与求部分量

$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$，$b,d\ne 0$；部分量$=$单位整体$\times$对应分率。

使用前检查： 乘一个小于 1 的正分数，积比原正数小；约分只能在乘积的因数间进行。

计算或判断示例： $\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{3\times 2}{4\times 5}=\frac{3}{10}$；20 米的 $\frac{3}{4}$ 为 $20\times \frac{3}{4}=15$ 米。

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倒数与分数除法

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$，$b,c,d\ne 0$。非零数 $x$ 的倒数为 $\frac{1}{x}$。

使用前检查： 倒数与相反数不同；1 的倒数仍是 1，0 不能作除数。

计算或判断示例： $\frac{3}{5}÷\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\times \frac{10}{9}=\frac{2}{3}$；$2\frac{1}{2}$ 的倒数是 $\frac{2}{5}$。

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分数四则混合与运算定律

$a(b+c)=ab+ac$；$(a+b)÷c=a÷c+b÷c$（$c\ne 0$）；一般 $a÷(b+c)\ne a÷b+a÷c$。

使用前检查： 不能把分子或分母中的加号两边当成独立乘法因数任意约分。

计算或判断示例： $\frac{5}{6}\times \frac{3}{7}+\frac{5}{6}\times \frac{4}{7}=\frac{5}{6}\times 1=\frac{5}{6}$；$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})÷\frac{5}{6}=1$。

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分数应用：单位整体与逆向求量

整体$=$部分量$÷$对应分率（分率非零）；增加后$=$原量$\times (1+r)$；减少后$=$原量$\times (1-r)$。

使用前检查： “比原来多 1/4”对应新量为原来的 5/4，不是 1/4。

计算或判断示例： 已读一本书的 3/5，共读 90 页，则全书 90÷(3/5)＝150 页；剩余为全书的 2/5，即 60 页。

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比、比值与按比分配

$a:b=a÷b$（$b\ne 0$）。按 $m:n$ 分总量 $T$：两部分为 $\frac{mT}{m+n}$、$\frac{nT}{m+n}$（$m,n>0$）。

使用前检查： 比 2:3 的总量不是 3 份，而是 5 份；比值是一个数，最简整数比是一种关系写法。

计算或判断示例： 红、蓝珠数比为 2:3，共 40 颗，总份数 5，每份 8，红 16、蓝 24。

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比例与解比例

$a:b=c:d⟺ad=bc$，其中 $b,d\ne 0$。$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 与比例写法等价。

使用前检查： 不是任意四个数都能组成比例；写比例时对应量的次序必须一致。

计算或判断示例： 3:5＝x:20，由 5x＝3×20 得 x＝12，且 12/20＝3/5。

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正比例、反比例与非比例关系

正比例：$y=kx$，$y/x=k$（考察比值时 $x\ne 0$）；反比例：$xy=k$，$y=k/x$（$x\ne 0$）。 这里比例常数 $k\ne 0$；正比例允许 $x=0,y=0$，但此时不用 $y/x$ 求比值；反比例不能取 $x=0$。

使用前检查： “一个增加另一个减少”不足以证明反比例，要看乘积。

计算或判断示例： 单价固定，总价与数量成正比例；路程固定且速度非零，时间与速度成反比例；年龄差固定不构成正比例。

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百分数、分数与小数互化

$p\mathrm{\%}=\frac{p}{100}$；$0.35=35\mathrm{\%}=\frac{7}{20}$。求百分率：部分量$÷$整体量$\times 100\mathrm{\%}$（整体非零）。 合格率$=$合格数$÷$检查总数$\times 100\mathrm{\%}$；出勤率$=$实到人数$÷$应到人数$\times 100\mathrm{\%}$；两者分母都须非零。

使用前检查： 去掉百分号后数值需除以 100；“20%米”不是规范的具体长度表达。

计算或判断示例： 35%＝0.35＝7/20；0.08＝8%，不是 0.08%。

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百分数增减与连续变化

增长率$=\frac{\text{新量}-\text{原量}}{\text{原量}}\times 100\mathrm{\%}$；连续变化新量 $=A(1+r_1)(1+r_2)$，减少时相应 $r$ 取负；原量 $A>0$，增长率公式的分母不能为零。

使用前检查： 相同百分比的涨跌通常不抵消，因为两次基准不同。

计算或判断示例： 100 元先涨 20% 再降 20%，变为 100×1.2×0.8＝96 元，并未回到 100 元。

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折扣、税率与简单利息模型

现价$=$原价$\times$折扣率；简单税额$=$计税基数$\times$税率；单利利息 $I=Prt$，本息 $=P+I$，$r$ 与 $t$ 的时间单位一致。 一成 $=10\mathrm{\%}$；几成描述占比或增减率时，先确定对应的基准量。

使用前检查： 实际税费可能有免征额、累进或其他规则；只有题设为单一税率时才直接相乘。

计算或判断示例： 八折是原价的 80%；本金 1000 元、年利率 2%、存 3 年按单利计息，利息 60 元。

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圆、半径直径与周长

$d=2r$；$C=2\pi r=\pi d$；半圆周长 $=\pi r+2r$。$\pi$ 是圆周率，题目可指定取 $3.14$ 或保留 $\pi$。 同圆中所有半径相等；圆有无数条对称轴，每条都经过圆心。

使用前检查： 半圆周长不是整圆周长简单除以 2，缺少了直径边。

计算或判断示例： 半径 5 厘米的圆周长为 2π×5＝10π 厘米；同样半径半圆的周长为 5π＋10 厘米。

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圆面积、圆环与扇形

圆 $S=\pi r^2$；圆环 $S=\pi (R^2-r^2)$（$R>r\ge 0$）；扇形 $S=\frac{\theta }{{360}^{\circ }}\pi r^2$（$0\le \theta \le {360}^{\circ }$）。

使用前检查： 面积和周长的单位不同；半径扩大 2 倍时面积扩大 4 倍。

计算或判断示例： 外半径 5、内半径 3 厘米的圆环面积为 π(25−9)＝16π 平方厘米。

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圆柱侧面积、表面积与体积

$S_{\text{侧}}=2\pi rh$；$S_{\text{表}}=2\pi rh+2\pi r^2$；$V=\pi r^{2}h$。无盖容器表面积减去一个底面。

使用前检查： 本例侧面积和体积数值碰巧相同，量纲不同，不能混为同一个量。

计算或判断示例： 半径 2、高 5 厘米的圆柱侧面积为 20π，表面积为 28π 平方厘米，体积为 20π 立方厘米。

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圆锥体积与同底等高比较

$V_{\text{圆锥}}=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$；$h=3V÷S_{\text{底}}$（底面积非零）。

使用前检查： “三分之一”必须满足同底面积且等高；圆锥侧边长不是高。

计算或判断示例： 底面积 30 平方厘米、高 9 厘米的圆锥，体积为 30×9÷3＝90 立方厘米。

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比例尺、缩放与面积比

比例尺$=$图距$÷$实距；实距$=$图距$÷$比例尺。长度比 $k$ 对应面积比 $k^2$、体积比 $k^3$（形状相似）。

使用前检查： 比例尺用于长度，不能直接用同一倍率换算面积。

计算或判断示例： 比例尺 1:500，图上 4 厘米代表实际 2000 厘米，即 20 米；长宽都放大 3 倍，面积扩大 9 倍。

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方向角、距离与路线描述

直角为 ${90}^{\circ }$：北偏东 $\theta$ 等价于东偏北 $({90}^{\circ }-\theta )$（$0\le \theta \le {90}^{\circ }$）。返程方向转过 ${180}^{\circ }$。

使用前检查： 北偏东 30°与东偏北 30°不同，前者等价于东偏北 60°。

计算或判断示例： 从 A 看 B 是北偏东 30°、相距 2 千米，从 B 看 A 就是南偏西 30°、相距 2 千米。

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负数、相反意义的量与数轴

$-5<-2<0<3$。数轴上两点 $a,b$ 的距离为 $|a-b|$；小学可先用分段计数理解绝对值记号。

使用前检查： 不能仅比较数字部分大小而说 −5＞−2；负号是数的一部分。

计算或判断示例： −5°C 低于 −2°C；从 −5°C 升至 3°C 共升高 8°C，可分成到 0 的 5°C 和到 3 的 3°C。

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扇形统计图与整体占比

部分量$=$总量$\times$占比；圆心角$={360}^{\circ }\times$占比；总体$=$部分量$÷$占比（占比非零）。

使用前检查： 图中面积比例反映数量比例，但不知道总数时，通常不能求具体人数。

计算或判断示例： 全班 40 人，某项占 25%，人数为 10，扇形角为 90°；人数不是从图的半径直接读出。

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统计图选择与加权平均

加权平均 $\overline{x}=\frac{n_1{\overline{x}}_1+n_2{\overline{x}}_2}{n_1+n_2}$（$n_1+n_2>0$）。一般为总量除以总个数。

使用前检查： 直接平均两个组均值只有在两组人数相同时才总是正确；图形类型也不能代替数据解释。

计算或判断示例： 10 人平均 80 分、20 人平均 86 分，总平均为 (10×80＋20×86)÷30＝84 分。

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相遇、追及与相对速度

相遇时间$=\frac{\text{初始距离}}{v_1+v_2}$；追及时间$=\frac{\text{领先距离}}{v_{\text{快}}-v_{\text{慢}}}$（快者在后且速度差为正）。

使用前检查： 速度和用于相向接近，速度差用于同向追及；若快者在前方，通常不是追及。

计算或判断示例： 相距 90 千米，速度分别 20、25 千米/时，相向同时出发，2 小时相遇，因为 (20＋25)×2＝90。

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工程、效率与单位整体

工作量$=$工作效率$\times$时间；合作时间 $=\frac{1}{1/a+1/b}=\frac{ab}{a+b}$（独做时间 $a,b>0$，效率恒定）。

使用前检查： 完成时间不能直接相加或平均；合作效率相加需要明确无相互影响的模型。

计算或判断示例： 甲独做 6 天，乙独做 3 天，效率和 1/6＋1/3＝1/2，合作需要 1÷(1/2)＝2 天。

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抽屉原理、极端情况与论证

将 $N$ 个物体放入 $k$ 个类别，至少一类有 $\lceil N/k\rceil$ 个；$\lceil x\rceil$ 表示向上取整，$N,k$ 为正整数。

使用前检查： “可能出现”与“必定出现”不同；保证性结论必须覆盖所有分配方式。

计算或判断示例： 13 人按出生月份分进 12 类，至少有 2 人同月出生；从两色袜子中不看颜色取 3 只，至少有同色 2 只。

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