九年级数学知识讲解 · 一元二次方程的解法至平移、旋转与轴对称

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知识讲解 · 公式速查 · 独立习题集 · 数学总览

由一元二次方程进入二次函数，把代数与图象联系起来；几何以相似、圆、锐角三角函数为主，并用树状图与统计模型处理随机现象。综合题的重点是标清条件、分类和检验。

九年级数学知识讲解

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由一元二次方程进入二次函数，把代数与图象联系起来；几何以相似、圆、锐角三角函数为主，并用树状图与统计模型处理随机现象。综合题的重点是标清条件、分类和检验。

本版按通用建议学习顺序编排，不等同于某一版教材的上下册；请按已学内容与学校进度调整。本版习题覆盖率仅针对本年级列出的 18 个知识点。

一元二次方程的解法

一元二次方程整理为 $a{x}^2+bx+c=0$，且 $a\ne 0$。可直接开平方、配方、因式分解或用求根公式。选择方法先观察结构，例如 $x(x-3)=0$ 直接用零乘积性质；不能除以含未知数的因式，否则可能漏掉使因式为零的根。

公式与条件： $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$，实根公式 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，要求 $b^2-4ac\ge 0$。配方：$x^2+px+q=(x+\frac{p}{2}{)}^2+q-\frac{p^2}{4}$。

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判别式与根系关系

配方后根号内的量决定实根个数，称为判别式。两个实根的和与积能从因式形式 $a(x-x_1)(x-x_2)$ 展开后比较系数得到。使用根系关系构造新式时，先把目标写成和、积，例如平方和为“和的平方减两倍积”。

公式与条件： $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$；$\mathrm{\Delta }>0$ 有两个不同实根，$\mathrm{\Delta }=0$ 有两个相等实根，$\mathrm{\Delta }<0$ 无实根。若实根为 $x_1,x_2$，则 $x_1+x_2=-b/a,x_1{x}_2=c/a$。

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二次函数的顶点与图象

二次函数图象是抛物线。配方成顶点式后，可以直接读出顶点、对称轴与最值；开口方向由二次项系数符号决定。对称轴两侧的增减性不同，不能把“开口向上”简单说成一直递增。与 $x$ 轴交点对应二次方程的实根。

公式与条件： $y=a{x}^2+bx+c=a(x-h{)}^2+k$，$a\ne 0$，$h=-\frac{b}{2a}$，$k=c-\frac{b^2}{4a}$。顶点 $(h,k)$，对称轴 $x=h$；$a>0$ 时最小值 $k$，$a<0$ 时最大值 $k$，均指全实数定义域。

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示意图采用 $y=(x-1{)}^2-4$，顶点为 $(1,-4)$、对称轴为 $x=1$，零点为 $-1,3$。这组参数仅用于图示，与下面习题的参数分别处理。

二次函数的实际最值

面积、利润与运动轨迹常产生二次函数。建模时先写自变量范围，再求顶点是否在范围内；如果不在，就比较允许区间的端点。离散情境如件数和人数还需检查相邻整数。实际最大值不一定等于抛物线在整个实数范围内的最大值。

公式与条件： $f(x)=a(x-h{)}^2+k$ 在闭区间 $[u,v]$ 上的最值，从端点 $u,v$ 及落在区间内的顶点 $h$ 中比较，要求 $u\le v$。面积、价格等额外约束不能省略。

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反比例函数

反比例函数表示两个量乘积固定且非零。图象有两个分支，不经过坐标轴，定义域排除零。$k>0$ 时图象在一、三象限，在各自区间上递减；$k<0$ 时在二、四象限，各自递增。说单调性必须分区间，不能跨过未定义的 $x=0$。

公式与条件： $y=\frac{k}{x}$，$k\ne 0,x\ne 0$，等价于 $xy=k$。设 $O$ 为原点，$P(x,y)$，$H(x,0)$ 为其在 $x$ 轴上的垂足，则直角三角形 $OPH$ 的面积为 $\frac{1}{2}|xy|=\frac{1}{2}|k|$。

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比例线段与相似三角形

相似三角形对应角相等，对应边成比例。判定可用两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等。相似比必须保持同一方向；长度按相似比变化，面积按其平方变化。先确定对应顶点，再写比例，避免把不对应的边相除。

公式与条件： 若 $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}DEF$，相似比 $k=AB/DE=BC/EF=AC/DF>0$，则周长比为 $k$、面积比为 $k^2$。平行截线可产生相似三角形，但需按具体图形确认对应。

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锐角三角函数与解直角三角形

在直角三角形中，同一锐角对应的边比不随图形大小改变，因此可定义正弦、余弦和正切。先以目标锐角为参照区分对边、邻边，斜边始终是直角对边。测高、坡度和俯仰角问题必须把文字中的角转成图形中的角，注意视线起点的高度。

公式与条件： $\sin A=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$，$\cos A=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$，$\tan A=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$，$0^{\circ }<A<{90}^{\circ }$。${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$，$\tan A=\sin A/\cos A$。${30}^{\circ },{45}^{\circ },{60}^{\circ }$ 的正切依次为 $\sqrt{3}/3,1,\sqrt{3}$。

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圆的弦、半径与切线

圆由到固定点距离等于固定长度的点组成。圆心到弦的垂线平分弦，反过来，经过圆心且平分非直径弦的直线垂直于弦。切线与圆仅有一个公共点，并垂直于该点的半径；证明切线需同时说明接触点在圆上和半径垂直。

公式与条件： 半径 $r>0$，圆心到直线距离 $d$：$d<r$ 相交，$d=r$ 相切，$d>r$ 相离。弦长 $l=2\sqrt{r^2-d^2}$，适用于 $0\le d<r$。从圆外同一点引圆的两条切线，圆外点到两个切点的线段相等。

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圆心角与圆周角

同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此同弧所对圆周角相等。直径所对圆周角是直角；反过来，一个圆周角为直角时，其所对弦是直径。使用结论时需明确所对的是哪一条弧，顶点不能落在该弧内部。

公式与条件： 同弧所对 $\mathrm{\angle }ACB=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }AOB$，其中 $O$ 为圆心，选取与该弧对应的圆心角。若 $AB$ 为直径且 $C$ 为圆上另一点，则 $\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$。

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图示圆心为原点、半径为 $2$，$A(-2,0),B(2,0),C(0,2)$。$AB$ 为直径，因此 $\mathrm{\angle }ACB={90}^{\circ }$。

圆内接四边形与正多边形

圆内接四边形的四个顶点在同一圆上，对角互补，因为两对角所对弧合起来是一整圆。正多边形的中心角相等，可用中心和相邻顶点构造等腰三角形；作边心距后化为直角三角形。内切圆半径与外接圆半径一般不同。

公式与条件： 圆内接四边形 $A+C={180}^{\circ },B+D={180}^{\circ }$。正 $n$ 边形外接圆半径 $R$：边长 $a=2R\sin ({180}^{\circ }/n)$，边心距 $r=R\cos ({180}^{\circ }/n)$，面积 $S=nar/2$，$n\ge 3$。

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弧长、扇形与圆锥侧面积

圆周与圆面积按圆心角比例分配，分别得到弧长与扇形面积。圆锥侧面展开为扇形，扇形半径是圆锥母线，弧长是底面周长；圆锥高与母线不是同一个量。计算展开图角度时先利用弧长相等，不靠图形外观猜测。

公式与条件： 角度制下 $l=\frac{n\pi r}{180}$，$S_{\text{扇}}=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{1}{2}rl$，$0\le n\le 360$。直圆锥母线 $L=\sqrt{r^2+h^2}$，侧面积 $\pi rL$，全面积 $\pi rL+\pi r^2$。

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平移、旋转与轴对称

平移、旋转和轴对称都保持长度与角度，因此变换前后的图形全等。平移中每个点的位移相同；旋转中每个点绕同一中心转过同角；轴对称中，轴外点与其对应点的连线被对称轴垂直平分，轴上的点保持不动。坐标变换有助于检验构图，旋转方向与中心必须写清。 正投影沿垂直于投影面的平行线投射，三视图分别从前、上、左观察。同一物体的主视与俯视图长对正，主视与左视图高平齐，俯视与左视图宽相等。视图可能遮住后方结构，三幅轮廓并不总能唯一恢复复杂物体。

公式与条件： 关于 $x$ 轴：$(x,y)\mapsto (x,-y)$；关于 $y$ 轴：$(x,y)\mapsto (-x,y)$；关于原点：$(x,y)\mapsto (-x,-y)$。绕原点逆时针 ${90}^{\circ }$：$(x,y)\mapsto (-y,x)$。 轴向放置的长方体若左右长 $a$、前后宽 $b$、上下高 $c$，主视图为 $a\times c$，俯视图为 $a\times b$，左视图为 $b\times c$（分别列水平、竖直尺寸）。

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