Math Formula

初中公式

1. 求和公式：$\sum_{i=1}^n i$ 表示将 $1$ 到 $n$ 之间的所有自然数相加。

2. 平方根公式：$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 表示求 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{3}$ 的和。

3. 二次方程求根公式：$x = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 是解二次方程 $ax^2 + bx + c =0 $ 的公式，其中 $a=2, b=-5, c=3$。

4. 三角函数：$\sin\frac{\pi}{6}, \cos\frac{\pi}{3}, \tan\frac{\pi}{4}$ 分别表示 $30^\circ$ 角的正弦、$60^\circ$ 角的余弦和 $45^\circ$ 角的正切值。

5. 相似三角形：已知两个相似三角形，第一个三角形中对应边长为 $AB=2$，$BC=3$，$AC=4$，求第二个三角形中对应边长。

   解：设第二个三角形中对应边长为 $DE=x, EF=y, DF=z$，则有：$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$。因为两个三角形相似，所以它们的对应角度相等，因此有：$\angle B = \angle E, \angle C = \angle F$。由于三角形内角和为 $180^\circ$，因此有：$\angle A = \angle D$。因此可以使用正弦定理或余弦定理求解出第二个三角形中对应边长的值。

6. 勾股定理：已知一个直角三角形，其中一条直角边长为 $3$，斜边长为 $5$，求另一条直角边长的长度。

   解：设另一条直角边长为 $x$，则根据勾股定理有：$x^2 + 3^2 = 5^2$。解得 $x=4$。

7. 余弦定理：已知一个三角形，其三个角度分别为 $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$，其中直角边长为 $1$，求斜边长的长度。

   解：设斜边长为 $c$，则根据余弦定理有：$c^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \times 1 \times \sqrt{3} \times \cos 60^\circ$。化简得：$c=\sqrt{4}=2$。

8. 正弦定理：已知一个三角形，其中两个角度分别为 $30^\circ$ 和 $45^\circ$，对应边长分别为 $2$ 和 $x$，求第三条边长的长度。

   解：根据正弦定理有：$\frac{x}{\sin 105^\circ} = \frac{2}{\sin 45^\circ}$，解得 $x=2 \sqrt{3}$。

9. 数列通项公式：已知等差数列 $1, 5, 9, 13, \ldots$，求第 $100$ 项的值。

   解：设第 $100$ 项为 $a_{100}$，则有：$a_{100} = a_1 + (100-1)d = 1 + 99 \times 4 = 397$。

高中公式

1. 指数和幂
   • $x^n$ 表示$x$的$n$次方
   • $x^{-n}$ 表示$x$的倒数的$n$次方
   • $x^{\frac{1}{n}}$ 表示$x$的$n$次方根

2. 代数式

   • 二次方程求解公式：$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a,b,c$为实数且$a\neq 0$。

   • 因式分解公式：

     \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\] \[a^2-b^2=(a+b)(a-b)\] \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
   • 等比数列通项公式：$a_n = a_1q^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比。

3. 几何

   • 同余三角形定理：若$\triangle ABC\cong \triangle A’B’C’$，则有$AB\cong A’B’$，$BC\cong B’C’$，$CA\cong C’A’$。
   • 相似三角形定理：若$\triangle ABC\sim \triangle A’B’C’$，则有$\frac{AB}{A’B’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{CA}{C’A’}$。
   • 圆的面积公式：$S=\pi r^2$，其中$r$为半径。
   • 圆的周长公式：$C=2\pi r$，其中$r$为半径。

4. 三角函数

   • 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$为三角形外接圆半径。
   • 余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$（同理可得$b^2$和$c^2$的表达式）。
   • 勾股定理：$a^2+b^2=c^2$，其中$c$为斜边长。

5. 解析几何

   • 坐标公式：

     • 两点间距离公式：$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
     • 点到直线距离公式：$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
   • 直线解析式：$y=kx+b$，其中$k$为斜率，$b$为截距。
   • 圆的解析式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。

6. 极限

   • $\lim_{x \to a} f(x)$ 表示当$x$无限接近$a$时，$f(x)$的极限值